五个月宝宝被蚊子叮咬后红肿硬，可以参考下述处理方法：
1. 局部用地奈德乳膏外涂，减轻局部红肿硬的症状。这种药膏含有地塞米松，是一种糖皮质激素，可以减轻炎症反应和肿胀。
2. 也可以用炉甘石洗剂或者绿药膏外涂患处，也有不错的临床效果。这些药膏含有氧化锌和硅油，可以减轻炎症和瘙痒感。
3. 如果红肿硬范围比较大，还可以口服抗过敏的药，如盐酸西替利嗪滴剂，或者氯雷他定糖浆等。这些药物可以减少炎症反应和瘙痒感，帮助宝宝缓解不适。
4. 如果蚊虫叮咬后红肿硬伴有脓，考虑继发细菌感染的话，需要局部用莫匹罗星软膏抗感染治疗。这种药膏可以杀死细菌，减轻感染症状。
此外，要注意给宝宝提供清洁、干燥的环境，避免宝宝抓挠叮咬部位，以免加重症状。如果症状严重或持续时间较长，建议就医寻求专业意见。